Bonsoir, - soit n un entier naturel. Déterminer les valeurs de n PGCD de n+1 et de 3n+4. Détaillez la méthode utilisée. - soit n un entier naturel. Déterminer s

- soit n un entier naturel. Déterminer suivant les valeurs de n le PGCD de n+1 et de 3n+4.

n=1 donc n+1=2 et 3n+4=7 alors PGCD(n+1,3n+4)=1

n=2 donc n+1=3 et 3n+4=10 alors PGCD(n+1,3n+4)=1

n=3 donc n+1=4 et 3n+4=13 alors PGCD(n+1,3n+4)=1

n=4 donc n+1=5 et 3n+4=16 alors PGCD(n+1,3n+4)=1

n=5 donc n+1=6 et 3n+4=19 alors PGCD(n+1,3n+4)=1

n=6 donc n+1=7 et 3n+4=22 alors PGCD(n+1,3n+4)=1

n=7 donc n+1=8 et 3n+4=25 alors PGCD(n+1,3n+4)=1

n=8 donc n+1=9 et 3n+4=28 alors PGCD(n+1,3n+4)=1

n=9 donc n+1=10 et 3n+4=31 alors PGCD(n+1,3n+4)=1

... etc

conclusion : pour tout entier n PGCD(n+1,3n+4)=1

- soit n un entier naturel. Déterminer suivant les valeurs de n le PGCD de n²+5n+7 et n+1.

n=1 donc n+1=2 et n²+5n+7=13 alors PGCD(n+1,n²+5n+7)=1

n=2 donc n+1=3 et n²+5n+7=21 alors PGCD(n+1,n²+5n+7)=3

n=3 donc n+1=4 et n²+5n+7=31 alors PGCD(n+1,n²+5n+7)=1

n=4 donc n+1=5 et n²+5n+7=43 alors PGCD(n+1,n²+5n+7)=1

n=5 donc n+1=6 et n²+5n+7=57 alors PGCD(n+1,n²+5n+7)=3

n=6 donc n+1=7 et n²+5n+7=73 alors PGCD(n+1,n²+5n+7)=1

n=7 donc n+1=8 et n²+5n+7=91 alors PGCD(n+1,n²+5n+7)=1

n=8 donc n+1=9 et n²+5n+7=111 alors PGCD(n+1,n²+5n+7)=3

n=9 donc n+1=10 et n²+5n+7=133 alors PGCD(n+1,n²+5n+7)=1

... etc

conclusion :

* si n+1 est multiple de 3 alors PGCD(n+1,3n+4)=3* si n+1 n'est pas multiple de 3 alors PGCD(n+1,3n+4)=1