Bonjour, pouvez vous m'aider pour cet exercice de dérivation niveau spé maths première s'il vous plaît ? Soient deux fonctions u et v définies et dérivables sur
Question
Soient deux fonctions u et v définies et dérivables sur un intervalle I de R telles que la fonction v ne s'annule pas sur I.
On considère les fonctions f et g définies sur I par f(x)=
[tex] \frac{1}{v(x)} [/tex]
et g(x)=
[tex] \frac{u(x)}{v(x)} [/tex]
1. À l'aide d'un taux de variation, démontrer que la fonction f est dérivable sur I de dérivée f' définie par f' (x) =
[tex] \frac{ -v \: prime \: (x)}{{(v(x)}^{2})} [/tex]
2. En utilisant la dérivée d'un produit et la question 1. démontrer que la fonction g est dérivable sur I de dérivée g' définie par g' (x) =
[tex] \frac{u \: prime \: (x) \times v(x) - u(x) \times \: v \: prime \: (x)}{ {(v(x))}^{2} } [/tex]
1 Réponse
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1. Réponse mtahar232p4k7xi
Réponse:
1.
on rappel la formule du taux de variation d'une fonction : f(x+h)-f(x)/h
de plus on sait que Calculer f'(x) revient à calculer (1/g(x))'
donc on applique :
1/g(x+h)-1/g(x) / h = g(x)/g(x+h)×g(x) - g(x+h)/g(x+h)×g(x) /h on met au même dénominateur
= g(x)-g(x+h)/g(x+h)×g(x) /h
on rassemble les deux fractions
= -(g(x+h)-g(x)) × 1/g(x+h)×g(x) ×1/h
on applique la propriété qui nous dis que a/b= a×1/b mais également que a-b = -(b-a)
=-(g(x+h)-g(x)) ×1/h × 1/g(x+h)×g(x)
on utilise la commutativitée de la multiplication
= - g(x+h)-g(x)/h × 1/g(x+h)×g(x)
on laisse comme cela pour pouvoir calculer la dérivé qui est la limite quand h tends vers 0 du taux de variation
donc :
lim h--->0 [- g(x+h)-g(x)/h × 1/g(x+h)×g(x)]
= lim h--->0 (- g(x+h)-g(x)/h) × lim h--->0 (1/g(x+h)×g(x))
on "distribue" la limite
= -g'(x) × lim h--->0 (1/g(x+h)×g(x))
on reconnaît la définition mathématiques de g'(x) avec un - avant la fraction qui est le taux d'accroissement
= -g'(x) × 1/g(x)×g(x)
= -g'(x)/g(x)²
on a démontré que (1/g(x))' = -g'(x)/g(x)² et donc que f'(x)=-g'(x)/g(x)²
2. on sait que (u×v)'= u'×v+u×v'
donc (u/v)'= (u×1/v)'
(u×1/v')= u'×1/v+u× -v'/v²
= u'/v + u×-v'/v²
= u'×v/v×v + u×-v'/v²
= u'×v+u×-v'/v²
= u'×v-u×v'/v²
CQFD