Bonsoir j'aurai besoin d'aide sur cette question : Donner le domaine de définition, de continuité et de dérivabilité de cette fonction (voir photo) puis calcule

Bjr,

Le domaine de définition

La fonction racine carrée est définie pour x positif et dérivable pour x > 0

Donc le domaine de définition de cette fonction est tous les x tels que

[tex]x^2-|x| \geq 0[/tex]

pour x [tex]\geq[/tex] 0

[tex]|x|=x\\\\x^2-|x|=x^2-x=x(x-1)[/tex]

C'est positif pour [tex]x \geq 1[/tex] sur IR+

pour x [tex]\leq[/tex] 0

[tex]|x|=-x\\\\x^2-|x|-x^2+x=x(x+1)[/tex]

C'est positif pour [tex]x \leq -1[/tex] sur IR+

Donc le domaine de définition est

[tex]]-\infty;-1]\cup [1;+\infty[[/tex]

Continuité

Cette fonction est continue sur son domaine de définition car composée de fonctions qui le sont

Dérivabilité

Comme précisé au début cette fonction est dérivable pour [tex]x^2-|x| > 0[/tex]

donc dérivable sur

[tex]]-\infty;-1[\cup ]1;+\infty[[/tex]

Tableau de variations

Notons f cette fonction, f(-x)=f(x) donc f est paire, nous pouvons nous limiter à étudier f pour x [tex]\geq 1[/tex] et on déduit le reste par symétrie par l'axe des ordonnées.

[tex]f(x)=\sqrt{x^2-|x|}=\sqrt{x^2-x}\ \text{ pour } x \geq 1\\\\f'(x)=\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}\ \text{ pour } x > 1[/tex]

c'est positif pour x>1 donc f est croissante pour x [tex]\geq[/tex]1

[tex]\begin{array}{c|ccccc}x&&-1&&1&\\---&---&---&---&---&---\\f'(x)&-&||&||&||&+\\f(x)&\searrow&0&||&0&\nearrow\\\end{array}[/tex]

Merci