Bonjour, je suis bloquée à cette exercice c'est pour mes révision du bac On considère l'équation différentielle : (E):y + y = g(x) où g est une fonction définie
Mathématiques
auroreblt
Question
Bonjour, je suis bloquée à cette exercice c'est pour mes révision du bac
On considère l'équation différentielle :
(E):y + y = g(x)
où g est une fonction définie sur R.
Partie A
On suppose que g(x)=0.
1. Résoudre (E).
2. Trouver la solution f de (E) qui vérifie f(1)=e^-1
Partie B
On suppose que g(x)=-X-1.
1. Montrer que la fonction h(x)=e^-x - x est solution de (E).
2. Calculer h'(x) en utilisant deux méthodes : la fonction
het l'équation (E).
3. Étudier le sens de variation de h sur [0; +[.
On considère l'équation différentielle :
(E):y + y = g(x)
où g est une fonction définie sur R.
Partie A
On suppose que g(x)=0.
1. Résoudre (E).
2. Trouver la solution f de (E) qui vérifie f(1)=e^-1
Partie B
On suppose que g(x)=-X-1.
1. Montrer que la fonction h(x)=e^-x - x est solution de (E).
2. Calculer h'(x) en utilisant deux méthodes : la fonction
het l'équation (E).
3. Étudier le sens de variation de h sur [0; +[.
1 Réponse
-
1. Réponse Tenurf
Bjr,
1.
Nous devons résoudre y' + y = 0
Nous savons du cours que les solutions sont
[tex]ke^{-x}[/tex]
avec k réel quelconque
2. Nous devons trouver k tel que
[tex]ke^{-1}=e^{-1}[/tex]
donc k=1
[tex]f(x)=e^{-x}[/tex]
PArtie B
1.
[tex]h(x)=e^{-x}-x\\\\h'(x)=-e^{-x}-1\\\\h'(x)+h(x)=-x-1=g(x)[/tex]
donc h est solution de (E)
2.
Nous pouvons procéder comme dans la question 1 pour trouver que
[tex]h'(x)=-e^{-x}-1[/tex]
Comme h est solution de (E) nous pouvons aussi écrire que
[tex]h'(x)=g(x)-h(x)[/tex]
d'où le résultat
3.
pour x positif
h'(x) < 0
donc h est décroissante
merci