Bonjour je n'arrive pas un exercice donc . On considère une série de 9 nombres entiers strictement positifs. 1) Si la médiane est 7 et la moyenne 10,quelle est

On considère une série de 9 nombres entiers strictement positifs. Si la médiane est 7 et la moyenne 10,quelle est la plus petite valeur de l’étendu? On donnera la série de nombres correspondant.

réponse:

soient a,b,c,d,e,f,g,h,i les 9 valeurs

Me=e=7

étendue=i-a

a+b+c+d+e+f+g+h+i=9*10=90

donc a+b+c+d+7+f+g+h+i=90

or 3+4+5+6+7+8+9+10+38=90

et 3+4+5+6+7+15+16+17+17=90

l'étendue minimale est donc e(min)=17-3=14

l'étendue maximale est donc e(max)=38-3=35

   Puisque la moyenne des 9 nombres est 10,

   et que la moyenne est le quotient de la somme des valeurs par l'effectif,

   leur somme est de :

                                                               9 × 10 = 90

   Puisque la médiane est 7, cela veut dire que la 5e valeur est 7

   et qu'en mettant les valeurs par ordre croissant :

   — les 4 valeurs qui précèdent sont situées entre 1 et 7

   — et que les 4 valeurs qui suivent sont de 7 ou plus.

   Puisque l'étendue est la différence entre la valeur la plus élevée et la moins élevée.

  Puisque rien n'indique que plusieurs valeurs ne peuvent pas être égales.

   On obtient ainsi pour :
   — étendue minimum :    e(min) = 7   soit    14 − 7

        avec la série :    7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 13 ; 14 ; 14 ; 14

        étendue qui ne peut être réduite car
        — les 4 valeurs en dessous de la médiane lui sont identiques,

             pour monter le plus possible leur moyenne

             (et augmenter le plus possible la valeur minimale) ;
        — les 4 valeurs au-dessus doivent avoir une somme de   90 − (5 × 7)  =  55

             en étant les plus proches possibles les unes des autres, or    55 ÷ 4  =  13,75

             (pour réduire le plus possible la valeur maximale).

   — étendue maximum :    e(min) = 57  soit    58 − 1
        avec la série :    1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 58

        étendue qui ne peut être augmentée car
        — les 4 valeurs en dessous de la médiane sont les plus petites possible

             pour descendre au maximum leur moyenne

             (et réduire au maximum la valeur minimale) ;
        — les 3 valeurs suivant la médiane lui sont identiques

             pour descendre au minimum leur moyenne,

             ce qui permet de mettre en dernière valeur la valeur la plus élevée possible

             soit    90 − (4 × 8)  = 58

            (et augmenter le plus possible la valeur maximale).