peut on inscrire un rectangle de Périmètre 28 cm dans un cercle de rayon 5 cm?

Bonjour,

Première chose à faire: exprimer l'aire et le périmètre de ce rectangle:

Soient a et b les longueurs et largeurs de ce rectangle:

Périmètre: 2(a+b) = 28
→ 2a + 2b = 28
Aire: a×b = ? → On ne connait pas l'aire de ce rectangle donc pas possible de l'exprimer.

Cependant; on sait qu'un rectangle correspond à la somme de deux triangles rectangles.
De plus si un triangle rectangle est inscrit dans un cercle; son hypoténuse est en fait le diamètre du cercle dans lequel il est inscrit.

On sait que rayon(cercle) = 5 donc diamètre(cercle) = 10.

Nous somme dans un triangle rectangle; nous pouvons alors utiliser le Théorème de Pythagore:

a² + b² = 10²
a² + b² = 100

On a précédemment exprimé le périmètre de ce rectangle: 2a + 2b = 28
On peut ainsi dire que: a + b = 14

A partir de là nous pouvons écrire:

14² = (x+y)² = x² + 2xy + y²
→ 14² = x² + y² + 2xy
14² = 100 + 2ab
2ab = 14² - 100
2ab = 196 - 100
2ab = 96
ab = 96/2
ab = 48 → On a maintenant exprimé l'aire du rectangle en fonction de a et b.

De là on se retrouve avec un système qui nous permettra de trouver les valeurs de a et b:

[tex]\begin{cases}a+b = 14\\ab=48\end{cases}\\\\ \begin{cases}a=14-b\\ab=48\end{cases}\\[/tex]

On résout donc: 

[tex]\\(14-b)b=48\\ 14b - b^2 = 48\\ 14b - b^2-48=0\\ -b^2+14b-48=0\\ -b^2+8b+6b-48=0\\ -b(b-8) + 6(b-8)=0\\ (-b+6)(b-8) = 0\\ b = 6 \quad ou \quad b = 8[/tex]

Si b = 6: 
[tex]a = 14 - 6 = 8[/tex]

Si b = 8: 
[tex]a = 14 - 8 = 6 [/tex]

Les couples de solutions sont alors:

[tex](a_1, b_1) = (6,8)\\ (a_2,b_2) = (8,6)[/tex]

→ La réponse est donc oui, mais uniquement avec les côtes trouvées.