bonsoir j'ai absolument besoin de votre aide pour ce devoir de terminale j'ai énormément de mal à le comprendre et plus particulièrement les questions 5b et 7​

Réponse :

5a) g(x) = f(ax) - f(x) =  f(a) + f(x) - f(x)  car   f  est dans E

donc  g(x) = f(a)  = cste

5b) g '(x) = f'(ax) - f'(x)  =  a f'(ax) - f'(x)      dérivée de fct composée

et 2ème façon de dérivé :  g'(x) = 0   car  g = cste !

5c)  tu égales les 2 façons de dérivé :

6) puisque f'(1) = k on pose x = 1  dans l'égalité obtenu avant

tu obtiens :  a f'(a) - f'(1) = 0    -->  a f'(a) - k = 0   -->  f'(a) = k/a

7) on suppose que  f est dans  (S)  donc  f vérifie  f(1) = 0  et  f'(x) = k/x

on introduit  la fct g définie en  5)

on a g(1) = f(a) - f(1)    et comme f(1) = 0   ...   on a : g(1) = f(a)

d'autres part on dérive g

on a  g'(x) = a f'(ax) - f'(x)  et puisque  f est dans (S) on a  f'(x) = k/x

donc :   g'(x) = a k/(ax) - k/x =  k/x - k/x = 0    

puisque g' = 0  alors  g est cste   et puisque g(1) = f(a)  cette constante c'est f(a)

on alors :  g(x) = f(a)   qq soit x      donc  g(x) = f(ax) - f(x) = f(a)

donc f(ax) = f(a) + f(x)     donc  f est dans (E)

Explications étape par étape