Pouvez vous m’aidez dans mon dm de maths ? Je n’y arrive pas.

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

On va travailler avec les vecteurs donc tu mettras les flèches que je ne mets pas.

Dans le repère (A,AB,AD) , l'axe des abscisses est (AB) et celui des ordonnées est (AD).

On a dans ce repère :

A(0;0)

B(1;0)

C(1;1)

D(0;1)

I(0;1/5

J(1;3/5)

M(x;1)

OK ?

Donc les vecteurs :

IJ(1-0;3/5-1/5) ==>IJ(1;2/5)

BM(x-1;1-0) ==>BM(x-1;1)

Deux vecteurs u(x;y) et u'(x';y') sont orthogonaux si et seulement si :

u.u'=0 soit :

xx'+yy'=0

Ce qui donne pour IJ et BM :

(x-1)+2/5=0

x=1-2/5

x=3/5

Donc M(3/5;1)

On constate que le point M est en fait le point K de la question 2).

2)

a)

On va vérifier si les vecteurs IK et JK sont ou ne sont pas orthogonaux.

On a donc K(3/5;1)

IK(3/5-0;1-1/5) ==>IK(3/5;4/5)

JK(3/5-1;1-3/5) ==>JK(-2/5;2/5)

On applique : xx'+yy'=0.

(3/5)(-2/5)+(4/5)(2/5)=-6/25+8/25=2/25 ≠ 0

Le triangle IJK n'est donc pas rectangle en k.

Il ne semble pas nécessaire de vérifier s'il est ou non rectangle en J puisqu'on demande da calculer ^IJK au c).

b)

On a vu que :

IJ(1;2/5)

Donc IJ²=1²+(2/5)²=1+4/25=29/25

Mesure IJ=(√29)/5

c)

Il faut le mesure JK .

J(1;3/5)

K(3/5;1)

vect JK(-2/5;2/5)

JK²=(-2/5)²+(2/5)²=8/25

JK=(√8)/5

JK=(2√2)/5

On va calculer de 2 manières : scalaire JI.JK.

JI(-1;-2/5)

JK(-2/5;2/5)

On applique . JI.JK=xx'+yy' qui donne :

Ji.JK=(-1)(-2/5)+(-2/5)(2/5)=2/5-4/25=10/25-4/25=

JI.JK=6/25

Par ailleurs :

JI.JK=|| JI || x ||JK|| x cos IJK=(√29)/5 x (2√2)/5 x  cos IJK

Donc :

cos IJK=(6/25) /[ (√29)/5 x (2√2)/5]

cos IJK=(6 x 25 ) / [25 x 2√(29x2)]

cos IJK=3/√(28)

^IJK ≈ 66.8°

Compatible avec ma figure.

3)

On sait que :

(BK) ⊥ (IJ)

Et que :

(DL) // (BK)

Donc :

(DL) ⊥ (IJ).

Scalaire UJ.DK :

1ère manière :

H est le projeté  orthogonal de D sur (IJ) et H est le le projeté orthogonal de K sur (IJ) , donc :

IJ.DK=IJ.LH

2ème manière :

vect IJ(1;2/5)

vect DK(3/5;0)

Scalaire IJ.DK=xx'+yy'=3/5+0=3/5

Donc :

IJ.LH=3/5

Ces 2 vecteurs sont colinéaires donc on arrive à :

|| IJ || x || LH || =3/5

Et  avec mesure IJ=√29/5,  

Mesure LH=(3/5) / [(√29)/5]

Mesure LH=3/√29 = (3√29)/29

Mesure LH ≈ 0.557 unité.

Comme j'ai pris comme côté du carré 5 cm , 0.557 unité font :

5 x 0.557 ≈  2.8 cm sur ma figure.

A peu près compatible avec ma figure!!