Première S :3 Soit n un nombre entier naturel Constate que les nombres suivants sont des nombres impairs A = n² + 13 n + 17 B = n^3 - n + 1                   ''

Bonjour,

Le produit de deux entiers consécutifs est pair.
Le produit de 3 entiers consécutifs est pair.
n²+13n+17=(n+6)(n+7)-25 est donc pair-impair=impair.
n^3-n+1=n(n²-1)+1=(n-1)n(n+1)+1 pair +1=impair.
soit x=2n+2, (x+1)²-x²=(x+1+x)(x+1-x)=2x+1 =>impair.

n=2k+1 pour un nombre impair
n=2k pour un nombre pair
k appartenant à l'ensemble des entiers naturels

si n est pair
A=4k²+13×2k+17=4k²+26k+17
quelque soit k on a 4k² pair et 26k pair, donc 4k²+26k pair 
si on ajoute 17 à un nombre pair alors le résultat est un nombre impair
A est donc impair

si n est impair
A=(2k+1)²+13(2k+1)+17=4k²+1+4k+26k+13+17=4k²+30k+31
4k²+30k est toujours pair
31 est impair
donc A est l'addition d'un nombre pair plus un nombre impair.A est donc impair

A est donc bien impair


C=(2n+2)²-(2n+1)²=4(n+1)²-(2n+1)²
2n+1 est un nombre impair donc mis au carré il restera impair
n+1 peut être pair ou impair donc mis au carré n+1 sera pair ou impair.Un nombre pair ou impair multiplié par 4 sera pair.
C est donc la soustraction d'un nombre pair avec un nombre impair donc C est impair


B=n³-n+1=n(n²-1)+1=n(n+1)(n-1)+1

si n est pair 
n pair, n+1 impair, n-1 impair
n(n+1)(n-1)=nombre pair×nombre impair×nombre impair=nombre pair×nombre impair=nombre paire
donc B=nombre pair+1
B est impair

si n impair 
n impair, n+1 pair, n-1 pair
n(n+1)(n-1)=nombre impair×nombre pair×nombre pair=nombre impair×nombre pair=nombre pair
donc B=nombre pair+1
B est impair

B est donc impair